անուն, ազգանուն՝ Սոֆի Օհանյան

Ամսաթիվ՝ 02/10/2026

I. Հանրահաշիվ — 20 միավոր

Առաջադրանք 1. Թվային ֆունկցիաներ (3 միավոր)

1. Ո՞րն է թվային ֆունկցիայի սահմանումը։ Ֆունկցիան, կոպիտ ասած, էնպիսի կանոն կամ օրենք է, որով մի X բազմության ամեն մի տարրի համապատասխանեցնում ենք Y բազմության միայն մեկ տարր։
2. Տրված է y=2x−3 ֆունկցիան։ Գտնել՝

ա) x=0 դեպքում ֆունկցիայի արժեքը,

y=2(0)-3

y=-3

բ) x=2 դեպքում ֆունկցիայի արժեքը,

y=2(2)-3

y=4-3=1

գ) ֆունկցիայի զրոն։

0=2x-3

3=2x

1.5=x

Առաջադրանք 2. Թվային միջակայքեր (2 միավոր)

Գրել անհավասարումների լուծումները միջակայքերի տեսքով։

ա) x ≥−2

[−2;+∞)

բ) −3 < x ≤ 5

(−3;5]

գ) x<4

(−∞;4)

Առաջադրանք 3. Տառային արտահայտությունների նշանները (3 միավոր)

Գտնել արտահայտությունների նշանները և նշել նշանապահպանման միջակայքերը։

ա) 2x−6

2x-6=0

2x=6

x=3

(−∞;3) (3;+∞)

բ) (x−1)(x+3)

x-1=0

x=1

x+3=0

x=-3

(−∞;−3)

(−3;1)

(1;+∞)

գ) x+2/x−4

x+2=0

x=-2

x-4=0

x=4

(−∞;−2)

(−2;4)

(4;+∞)

Առաջադրանք 4. Ռացիոնալ արտահայտության նշանը (3 միավոր)

Գտնել արտահայտության որոշման տիրույթը և նշանապահպանման միջակայքերը։

Նշել, թե որ միջակայքերում է արտահայտությունը դրական և որ միջակայքերում՝ բացասական։

Առաջադրանք 5. Քառակուսային եռանդամի նշանը (4 միավոր)

Տրված է՝

ա) Գտնել եռանդամի արմատները։

x²−5x+6=0

(x−2)(x−3)=0

x1=2, x2=3

բ) Վերլուծել արտադրիչների։

x²−5x+6=(x−2)(x−3)

գ) Կազմել նշանների աղյուսակը։

(−∞;2)=+

2=0

(2,3)=-

3=0

(3;+∞)=+

դ) Գտնել, թե որ միջակայքերում է եռանդամը դրական և որ միջակայքերում՝ բացասական։

+=(-∞;2), (3;+∞)

-=(2,3)

Առաջադրանք 6. (5 միավոր)

Լուծել անհավասարումը՝

ա) Գտնել համարիչի զրոները։

x²−4=0

(x−2)(x+2)=0

x1=-2

x2=2

բ) Գտնել հայտարարի զրոն։

x-1=0

x=1

գ) Կազմել նշանների աղյուսակը։

-2, 1, 2

(−∞;−2)=-

-2=0

(-2,1)=+

1=X

(1,2)=-

2=0

(2;+∞)=+

դ) Գրել անհավասարման լուծումը։

(−∞;−2] (1;2]

II. ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ — Առաջադրանք 7. Երկու կետերի միջև հեռավորությունը (3 միավոր)

Տրված են A(2;3) և B(6;6) կետերը։

• Գրել երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևը։
  • d=√(x2​−x1​)²+(y2−y1​)²
• Հաշվել հատվածի երկարությունը։
  • d=√(6-2​)²+(6-3​)²
  • d=√(4​)²+(3​)²
  • d=√16+9
  • d=√25
  • d=5

Առաջադրանք 8. Հատվածի միջնակետի կոորդինատները (2 միավոր)

Տրված են A(−2;4) և B(6;8) կետերը։

Գտնել հատվածի միջնակետի կոորդինատները։

(-2+6/2, 4+8/2)

(4/2, 12/2)

(2,6)

Առաջադրանք 9. Ուղղի հավասարումը (3 միավոր)

Տրված է A(1;2) և B(3;6) կետերը։

Կազմել այդ ուղղի հավասարումը՝ y=kx+b  տեսքով։

k=6-2/3-1=4/2=2

y=2x+b

A(1,2)

2=2(1)+b

2=2+b

0=b

y=2x

գ) Ստուգել՝ արդյոք C(2;4) կետը պատկանում է այդ ուղղին։

y=2x

4=2(2)

4=4

դ) ուղղի հավասարումը՝

y = 2x + 1

y=2x

Առաջադրանք 10. Շրջանագծի հավասարումը (5 միավոր)

ա) (2 միավոր) Շրջանագծի կենտրոնը կետն է, իսկ շառավիղը՝ 4։ Գրել շրջանագծի հավասարումը։

r=3

(x-a)²+(y-b)²=16

բ) (1 միավոր) Գտնել շրջանագծի շառավիղը, եթե նրա հավասարումն է՝

x^2+y^2=25

r=√25=5

r=5

գ) (2 միավոր) Տրված է շրջանագծի հավասարումը՝

(x-2)^2+(y+1)^2=9

a=2, b=-1, r²=9

Գտնել՝

• Շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները։ (2,-1)
• Շրջանագծի շառավիղը։ r²=√9=3

Առաջադրանք 11. Վեկտորներ. հասկացություն և հավասարություն (4 միավոր)

1. Վեկտորը կոչվում է ուզզված հատված։
2. Վեկտորները հավասար են երբ նրանք ունեն նույն ուղղությունը և երկարությունը։
3. Այւ հավասար են, որովհետև նրանց կորդինատները հավասար են և ուղղությունն է նույնը։
4. Ոչ, որովհետև նրանց երկարությունը նույնը չե։

Առաջադրանք 12. Վեկտորի տեղադրումը տրված կետից (5 միավոր)

1. x=1+3=4

y=1+2=3

C(4,3)

2. C(4;3)

3. x=-2+3=1

y=3+2=5

(1,5)

4. AC=(4-1, 3-1)

AC=(3, 2)

BD=(1-(-2), 5-3)

BD=(3, 2)

AC=BD

Վեկտորները իրար հավասար են։

Առաջադրանքներ 

1. D=(-3)² -4(1)(-10)

D=9+40=49

D>0

x1=-3-√49/2(1)=-3-7/2=-5 

x2=-3+√49/2(1)=-3+7/2=4/2=2

a=1>0

-=(-5,2)

+=(-∞-5) (2,+∞)

2. D=(-10)² -4(2)(12)

D=100-96=4

D>0

x1=-10-√4/2(2)=-10-2/4= -3

x2=-10+√4/2(2)=-10+2/4=-2

a=2>0

-=(-3,-2)

+=(-∞,-3) (-2,+∞)

3. D=6² -4(-1)(-9)

D=36-36=0

D=0

x0=-6/2(-1)=-6/-2=3

a=6>0

+=(-∞,3) (3,+∞)

4. D=2² -4(3)(4)

D=4-48=-44

D<0

a=2>0

+=(-∞,+∞)

5. D=(-7)² -4(1)(10)

D=49-40=9

D>0

x1=-7-√9/2(1)=-10-3/2= -6.5

x2=-7+√9/2(1)=-10+3/2=-3.5

a=-7<0

+=(-6.5,-3.5)

-=(-∞,-6.5) (-3.5,+∞)

4. D=5² -4(-1)(-6)

D=25-24=1

D>0

x1=-5-√1/2(-1)=-5-1/-2= 3

x2=-5+√1/2(-1)=-5+1/-2= 2

a=5>0

-=(2,3)

+=(-∞,2) (3,+∞)

5. D=(-4)² -4(2)(2)

D=16-16=0

D=0

x0=-4/2(2)=-4/4=-1

2x²-4x+2=(x+1)²

6. D=6² -4(3)(5)

D=36-60=-24

D<0

a=6>0

-=(-∞,+∞)

1. D=(-7)² -4(1)(12)

D=49-48=1

D>0

x1=-7-√1/2(1)=-7-1/2= -4

x2=-7+√1/2(1)=-7+1/2= -3

a=-7<0

+=(-4,-3)

-=(-∞,-4) (-3,+∞)

2.D=(-4)² -4(1)(4)

D=16-16=0

D=0

x0=-4/2(1)=-4/2=-2

a=1>0

x²-4x+4=(x+2)²

3.D=3² -4(1)(5)

D=9-20=-11

D<0

a=1>0

+=(-∞,+∞)

Առաջադրանքներ։ 

1․ Որոշել քառակուսային եռանդամի նշանը տրված կետում․
ա) x² + 4x − 8, x = 2,  

2² + 4(2) − 8= 4+8-8=4

բ) 3 x² − 10x + 2, x = −1,  

3 (-1)² − 10(-1) + 2=3+10+2=15

գ) −2 x² + 7x + 11, x = 1.5, 

−2 (1.5)² + 7(1.5) + 11=-4.5+10.5+11=17

դ) 2  x² + 5x − 20, x = 4

2 (4)² + 5(4) − 20= 32+20-20=32

2․ Հաշվել քառակուսային եռանդամի դիսկրիմինանտը (տարբերիչ)։ Եռանդամի նշանը կախվա՞ծ է արդյոք x-ի արժեքից: Եթե կախված չէ, ապա նշել նշանը։
ա) 2x² + 7x − 1,  

D=7² -4(2)(-1)

D=49-4(2)(-1)

D=49+8

D=57

բ) −x² + 3x − 9,  

D=3² -4(-1)(-9)

D=9-4(-1)(-9)

D=9-36

D=-27

գ) − x² − 6x − 9։ 

D=(-6)² -4(-1)(-9)

D=36-4(-1)(-9)

D=36-36

D=0

x1=x1=-(-6)/2*(-1)=-3

(-∞,-3) (-3,∞)

3․ Գտնել քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը․
ա) 2x² − 6x + 4, 

D=(-6)² −4(2)(4)

D=36-32

D=4

x1=6+√4/4=6+2/4=8/4=2

x2=6-√4/4=6-2/4=4/4=1

2x² − 6x + 4= 2(x−1)(x−2)

+=(-∞,1) (2,∞)

-=(1,2)

բ) 3x² + 2x + 1, 

D=2² −4(3)(1)

D=4-12

D=-8<0

a=3>0

+=(-∞,+∞)

գ) − x² + 3x − 2։ 

D=3² −4(-1)(-2)

D=9-8

D=1

x1=-3+√1/-2=-3+1/-2=-2/-2=1

x2=-3-√1/-2=-3-1/-2=-4/-2=2

− x² + 3x − 2=-(x-1)(x-2)

-=(-∞,1) (2,+∞)

+=(1,2)

4․ Գտնել արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը և պարզե՛ք նշանը տրված կետում․  

ա) − x² − 5x − 6, x = −1,  

D=(-5)² −4(-1)(-6)

D=25-24=1

x1=5+1/-2=6/-2=-3

x2=5-1/-2=4/-2=-2

a=-1<0

+= (-3,-2)

-=(-∞,-3) (-2,+∞)

x=−1-ում նշանը −

բ) 3x² − 7x + 4, x = 5,   

D=(-7)² −4(3)(4)

D=49-48

D=1

x1=7+1/6=8/6=4/3

x2=7-1/6=6/6=1

a=3>0

-= (1,4/3)

+=(-∞,1) (4/3,+∞)

5>4/3

x=5-ում նշանը +

գ) 2x² − 9x + 10, x = 3։ 

D=(-9)² −4(2)(10)

D=81-80

D=1

x1=9+1/4=10/4=2.5

x2=9-1/4=8/4=2

a=2>0

-= (2,2.5)

+=(-∞,2) (2.5,+∞)

3>5/2

x=3-ում նշանը +

5․ m-ի փոխարեն գրել թիվ, որ ստացված քառակուսային եռանդամն ունենա մեկ նշանապահպանման միջակայք․ 

D<0
ա) x² + 5x + m,  

D=5² −4*1*m<0

25-4m<0

25/4<m

m=6

բ) −2x² + 15x − m,  

D=15² −4*-2*-m<0

225-8m<0

225/8<m

m=28

գ) 3 x² − 7x + m, 

D=(-7)² −4*3*m<0

49-12m<0

49/12<m

m=4
դ) mx² − 14x + 30,  

D=(-14)² −4*m*30<0

196-120m<0

196/120<m

m=2

ե) mx² + 12x + 34,  

D=12² −4*m*34<0

144-136m<0

144/136<m

m=1

զ) mx² − 4x + 8: 

D=(-4)² −4*m*8<0

16-32m<0

16/32<m

½<m

m=1
ԼՈՒԾՈՒՄ։  

դ) Եթե քառակուսային եռանդամն ունի մեկ նշանապահպանման միջակայք, ուրեմն այդ միջակայքն է (−∞, +∞): Դա հնարավոր է, երբ եռանդամն արմատ չունի, այսինքն՝ D < 0:  

Ուրեմն՝ D = (−14)² − 4 ⋅ 30 ⋅ m < 0:  

Լուծելով անհավասարումը՝ ստանում ենք m >49/30 :  

Օրինակ՝ m = 12 բավարարում է այս պայմանին։

Առաջադրանքներ 

1. 

ա) (x-3)(x-1)

բ) x-2/x-5

գ) x-1/(x-2)²

դ) (x+7)²/(x-4)

ե) 1/(x+1)²(x-2)²

զ) 1/(x+2)²x²(x-3)

2. 

ա) x-9≠0

x-9+9≠0+9

x≠9

(-∞,9) (9,∞)

բ) x²≠0

x≠0

(-∞,0) (0,∞)

գ) (x+4)5(x−1)=0

x+4≠0,  x-1≠0

x≠-4, x≠1

(-∞,-4) (-4,1) (1,+∞)

դ) x-1≠0

x-1+1≠0+1

x≠1

(-∞,1) (1,+∞)

ե) x-1≠0

x-1+1≠0+1

x≠1

(-∞,1) (1,+∞)

զ) 4x-5≠0

4x-5+5≠0+5

4x/4≠5/4

x≠5/4

(-∞,5/4) (5/4,+∞)

է) 4x≠0

4x/4≠0/4

x≠0

(-∞,0) (0,+∞)

ը) x+2≠0

x+2-2≠0-2

x≠-2

(-∞,-2) (-2,+∞)

3.

4. ա) +*+*-*+=-

բ) -*+*+*-=+

գ) +*-=-

դ) +*-*+=-

ե) +*+*-=-

զ) +*-*+=-

5. ա) 5²-6=25-6=+19

-5²-6=25-6=+19

բ) 5³=+125

-5³=-125

գ) 5³-200=125-200=-75

-5³-200=-125-200=-325

դ) 5+3!=5+(3*2*1)=5+6=+11

-5+3!=-5+(3*2*1)=-5+6=+1

ե) 5²+5=25+5=+30

-5²+(-5)=25+(-5)=+20

զ) (5+5)(5-5)=(10)0=0

(-5+5)(-5-5)=(0)-10=0

է) (5+2)(5+4)=(7)9=+63

(-5+2)(-5+4)=(-3)-1=+3

ը) (|5|-5)(5{57}+6(5)-1)=0

(|-5|-5)(-5{57}+6(-5)-1)=0

4. 

ա) x=4

բ) x=7

գ) x=4

դ) x=2

5.

ա) x-8=0

x-8+8=0+8

x=8

բ) x-3=0

x-3+3=0+3

x=3

գ) x-6=0

x-6+6=0+6

x=6

դ) x-3=0

x-3+3=0+3

x=3

ե) (x-2)²=0, (x+1)=0

(x-2+2)=0+2, (x+1-1)=0-1

x=2, x=-1

զ) (x+4)², (x-5){5}

(x+4-4)=0-4, (x-5+5)=0+5

x=-4, x=5

է) x-3=0

x-3+3=0+3

x=3

ը) x-4=0

x-4+4=0+4

x=4

Առաջադրանքներ 

1․ Նշել x-ի որևէ արժեք, որի դեպքում արտահայտության արժեքը դրական է. 

ա) x=5

բ) x=6

գ) x=4

դ) x=-4

2․ Նշել x-ի որևէ արժեք, որի դեպքում արտահայտության արժեքը բացասական է. 

ա) x=-7

բ) x=-1

գ) x=-2

դ) x=-1

3․ Պարզել արտահայտության նշանը տրված կետում․ 

ա) 8-4/8+10=4/18=+

բ) 0-1/0+1=-1/1=-

գ) 3²-5/(-2)³=4/-8=-

դ) 1.5-2/1.5-3=-0.5/-1.5=+

ե) 24.5-30/24.5-24=-5.5/0.5=-

զ) -2+5/-2-4=3/-6=-

է) -5+4/-5+6=-1/1=-

ը) 4²-8/(-4)³=8/-64=-

4․ Գտնել արտահայտության նշանը․ 

ա) +/+=+

բ) +/-=-

գ) +/+=+

դ) +/+=+

ե) -/+=-

5․ Գտնել արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը.

ա) x-9   x≠9

բ) x²  x≠0

գ) (x+4)  x≠-4 և (x-1)  x≠1

դ) (x-1)  x≠1

ե) x-1  x≠1

զ) 4x-5 

4x=5

4x/4=5/4

x≠5/4

է) 4x/4=0/4

x≠0

ը) x+2 x=-2

Առաջադրանքներ․ 

1)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում (նշված կետում)․

ա) (x − 1)(x − 34), x = 11 

բ) (x − 3)(x − 0.7), x = 2.2 

գ) (x + 2)(x − 7), x = 9

դ) (x − 4)(x − 9), x = 13 

ե) (x + 5)(x − 8), x = −10 

զ) (x − 5)(x + 10), x = 6 

2)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.

ա) (x − 2)(x − 8) 

(-∞,2) +

(2,8) —

(8,+∞) +

բ) (x − √6)(x +√8 ) 

(-∞,-√8) +

(-√8,√6) —

(√6,+∞) +

գ) (x − 10)(x − 100)
(-∞,10) +

(10,100) —

(100,+∞) +
դ) (x + √15 )(x − 5 √2 ) 

(-∞,-√15 ) +

(-√15, 5 √2) —

(5 √2, +∞) +

ե) (x − 2√7  )(x + 2) 

(-∞, -2) +

(-2, 2√7) —

(2√7, +∞) +

զ) (x − 3√6 )(x + 4) 

(-∞, -4) +

(-4, 3√6) —

(3√6, +∞) +

3)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x − 2)(x − 5)(x − 6) 

(-∞,2) —

(2,5) +

(5,6) —

(6,+∞) +

բ) (x − 1)(x + 2)(x + 3) 

(-∞, -3) —

(-3,-2) +

(-2,1) —

(1,+∞) +

գ) (x − 1)(x − 2)(x + 3) 

(-∞, -3) —

(-3, 1) +

(1,2) —

(2, +∞) +
դ) (x − √5 )(x − 2)(x − 3) 

(-∞, 2) —

(2, √5) +

(√5, 3) —

(3, +∞) +

ե) x(x − 1)(x + √6 ) 

(-∞,-√6) —

(√6, 0) +

(0,1) —

(1, +∞) +

զ) x(x − 2.5)(x − √6 ) 

(-∞, 0) —

(0,√6) +

(√6, 2.5) —

(2.5, +∞) +

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x + 2)(3x − 9) 

(-∞,-2) +

(-2,3) —

(3,+∞) +

բ) (4x − 20)(x +  3/7 ) 

(-∞,-3/7) +

(-3/7, 5) —

(5, +∞) +

գ) (6x − 5)(x + 3) 

(−∞, −3) +

(−3,  5/6) —
(5/6, +∞) +

դ) (2x − 8)(3x + 21) 

(-∞, -7) +

(-7, 4) —

(4, +∞) +

ե) (2x + 1/3 )(x − √11 ) 

(-∞, -⅙) +

(-⅙, √11) —

(√11, +∞) +

զ) (x + 4)(3x − 7) 

(-∞, -4) +

(-4, 7/3) —

(7/3, +∞) +

ԼՈՒԾՈՒՄ։ գ) (6x − 5)(x + 3)-ի արտահայտության առաջին արտադրիչից 6-ը ընդհանուր հանենք՝
(6x − 5)(x + 3) = 6(x − 5/6 )(x + 3)։ Նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (−∞, −3), (−3,  5/6) և
(5/6, +∞)։ Առաջին և երրորդ միջակայքերում դրական է, իսկ երկրորդում՝ բացասական։ 

Հարցեր և առաջադրանքներ: 

1. Ո՞ր թվեր են պատկանում տրված միջակայքին՝ (−∞;−5) 

ա) -6 բ) 1 գ) 5 դ) -1 ե) 20 զ) 10 է) -10 թ) -9 

ա) -6, է) -10, թ) -9

2. Պարզել՝ ճիշտ է, թե սխալ հետևյալ պնդումը՝ −12∈(−12;7] 

ա) սխալ է  բ) ճիշտ է 

3. Ո՞ր թվեր են պատկանում տրված հատվածին՝  [−12;0] 

ա) −9  բ) −10 գ) 20  դ) −6  ե) −1 զ) 10  է)1   թ)5 

ա) −9, բ) −10, դ) −6, ե) −1

4. Ո՞ր թվերը չեն պատկանում այս միջակայքին՝ (−1;10) 

  ա) 12  բ) 1  գ) 10  դ) −1   ե) 5  զ) 2 

բ) 1, ե) 5, զ) 2

5. Ընտրիր x∈(−∞;−1] միջակայքի պատկերը թվային առանցքի վրա, եթե a=−1 

•  
•  
•  
•  

• 

6.Գրառել նշանակումը՝ 

ա) [2;4]

բ) (2;4)

գ) (2;4]

դ) [2;4)

ե) [5;+∞)

զ) (5;+∞)

է) (−∞;0]

ը) (−∞;0)

7. Կարդալ թվային բազմության անվանումը և այն պատկերել այն կոորդինատային ուղղի վրա՝ 

8․ Թվարկել թվային բազմությանը պատկանող բոլոր ամբողջ թվերը․ 

ա) −3, −2, −1, 0, 1
բ) −2, −1, 0
գ) −3, −2, −1, 0
դ)−2, −1, 0, 1

ե) −2, −1, 0, 1, 2, 3
զ)−1, 0, 1, 2
է)−2, −1, 0, 1, 2
ը)−1, 0, 1, 2, 3

9․ Կոորդինատային առանցքի վրա նշել այն թվերը, որոնք՝ 

ա) x<3 (−∞;3)

բ)  x≤−5 (−∞;−5]

գ) x≤2 (−∞;2]

դ) x≥0 [0;+∞)

ե) 7<x<10 (7;10)

զ) −5<x<−1 (−5;−1)

10․Անվանել թվային բազմությանը պատկանող չորս ամբողջ թվեր՝ 

ա) 5, 18, 1, 0

բ)  1, 24, 12, 7

գ) 0, -7, -13, -1

դ) -6, 1, -10, -28

11․Գրառել նկարում պատկերված բազմությունները՝« 

ա) [3,7]

բ) (3,7)

գ) (5,6]

ե) [7,+∞)

զ) (-∞, 8)

է) (7,+∞)

ը) (-∞,8]